História de Limites nos cálculos matemáticos


   
   



O conceito de limite constitui um dos fundamentos do Cálculo, uma vez que para definir derivada, continuidade, integral, convergência, divergência, utilizamos esse conceito. A sistematização lógica do Cálculo pressupõe então o conceito de limite.

Entretanto, o registro histórico é justamente o oposto. Por muitos séculos, a noção de limite foi confundida com idéias vagas, às vezes filosóficas relativas ao infinito - números infinitamente grandes ou infinitamente pequenos - e com intuições geométricas subjetivas, nem sempre rigorosas. O termo limite no sentido moderno é produto dos séculos XVIII e XIX, originário da Europa. A definição moderna tem menos de 150 anos.

A primeira vez em que a idéia de limite apareceu, foi por volta de 450 a.C., na discussão dos quatro paradoxos de Zeno. Por exemplo, no primeiro paradoxo - a Dicotomia - Zeno discute o movimento de um objeto que se move entre dois pontos fixos, A e B, situados a uma distância finita, considerando uma seqüência infinita de intervalos de tempo - T0, T1, T2,..., Tn,... - cada um deles sendo o tempo gasto para percorrer a metade da distância percorrida no movimento anterior.



Analisando o problema, Zeno concluiu que dessa maneira o móvel nunca chegaria em B. Aristóteles, 384 - 322 a.C., refletiu sobre os paradoxos de Zeno com argumentos filosóficos. Para provas rigorosas das fórmulas de determinadas áreas e volumes, Arquimedes encontrou diversas somas que contêm um número infinito de termos. Na ausência do conceito de limite, Arquimedes utilizava argumentos denominados dupla reductio ad absurdum.

O Cálculo, às vezes, foi também descrito como o estudo das curvas, das superfícies, e dos sólidos. O desenvolvimento da geometria desses objetos floresceu seguindo a invenção da geometria analítica com Pierre de Fermat e René Descartes.

Fermat planejou um método algébrico para encontrar os pontos de máximo ou de mínimo em determinadas curvas. Ele estava tentando mostrar exatamente que nos pontos de máximo ou de mínimo a reta tangente à curva é horizontal, isto é, tem inclinação zero.

Encontrar a reta tangente a uma curva é um problema fundamental do Cálculo. Durante o século XVII, diversos geômetras planejaram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangentes a determinadas curvas. Descartes desenvolveu um processo que usava dobro-raízes de uma equação auxiliar; essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde,1628 - 1704, que era, na época, o maior matemático de Amsterdã. René de Sluse, 1622 - 1685, inventou um outro método mais sofisticado para obter retas tangentes a curvas. Em cada um desses métodos, o limite deve ter sido usado numa etapa crítica. Mas nenhum deles percebeu a necessidade da idéia de limite, e assim cada um encontrou uma maneira inteligente para conseguir os próprios resultados, que estavam corretos, embora sem o rigor possibilitado pelo limite.

Determinar valores exatos para áreas em regiões limitadas por curvas é outro problema fundamental do Cálculo. Este é chamado freqüentemente problema da quadratura - determinação de uma área - e, relacionado com ele, o problema da cubatura, isto é, da determinação do volume de um sólido limitado por superfícies. Todos esses problemas conduzem às integrais.

Johannes Kepler, astrônomo famoso, era um dos mais envolvidos com problemas de cubatura. Bonaventura Cavalieri desenvolveu uma teoria elaborada nas quadraturas. Outros, tais como Evangelista Torricelli, Pierre de Fermat, John Wallis e St. Vincent de Gregory, planejaram técnicas de quadratura e/ou de cubatura que se aplicavam a regiões ou a sólidos específicos. Mas nenhum deles usou limites. Os resultados estavam quase todos corretos, mas cada um dependia de uma argumentação não algébrica, recorrendo à intuição geométrica ou filosófica, questionável em algum ponto crítico. A necessidade para os limites era justa, mas não reconhecida.

Isaac Newton, em Principia Mathematica, seu maior trabalho em Matemática e Ciência, foi o primeiro a reconhecer, em certo sentido, a necessidade do limite. No começo do livro I do Principia, tentou dar uma formulação precisa para o conceito do limite. Ele havia descoberto o papel preliminar que o limite teria no Cálculo, sendo essa a semente da definição moderna. Infelizmente, para a fundamentação rigorosa do Cálculo, durante muitas décadas, ninguém examinou as sugestões que Newton havia fornecido.

Com as ferramentas disponíveis na época, os problemas da chamada Geometria foram resolvidos, e surgiam novas aplicações do Cálculo à Ciência, principalmente à Física e à Astronomia. Novos campos da Matemática, em especial das equações diferenciais e do cálculo de variações, foram sendo criados.

Durante o século XVIII, uma atenção muito pequena foi dada às fundamentações do Cálculo, muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin defendeu o tratamento dos fluxos de Newton, mas reverteu ao século XVII, com argumentos similares ao de Fermat que somente Arquimedes ocasionalmente tinha usado. Apesar de suas boas intenções, Maclaurin deixou passar a oportunidade de perceber a sugestão de Newton sobre limites.

D'Alembert era o único cientista da época que reconheceu explicitamente a centralidade do limite no Cálculo. Em sua famosa Encyclopédie, D'Alembert afirmou que a definição apropriada ao conceito de derivada requer a compreensão de limite primeiramente, e então deu a definição: Um valor é dito ser o limite de um outro valor quando o segundo pode se aproximar do primeiro dentro de algum valor dado, de qualquer modo pequeno, embora o segundo valor nunca possa exceder o valor ao qual se aproxima. Em termos gerais, D'Alembert percebeu, que a teoria dos limites era a "verdadeira metafísica do Cálculo".

Em 1784, a Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para quem explicasse com sucesso uma teoria do infinito pequeno e do infinito grande na matemática e que pudesse ser usado no Cálculo como um fundamento lógico e consistente. Embora esse prêmio tenha sido ganho por Simon L'Huilier (1750 - 1840) pelo seu trabalho "longo e tedioso", este não foi considerado uma solução para os problemas propostos. Lazare N. M. Carnot (1753 - 1823) propôs uma tentativa popular de explicar o papel do limite no Cálculo como "a compensação dos erros", mas não explicou como estes erros se balançariam sempre perfeitamente.

Já no final do século XVIII, o matemático Joseph-Louis Lagrange - o maior do seu tempo - tinha elaborado uma reformulação sobre a mecânica em termos do Cálculo. Lagrange focalizou sua atenção nos problemas da fundamentação do Cálculo. Sua solução tinha como destaque "toda a consideração de quantidades infinitamente pequenas, dos limites ou dos fluxos". Lagrange fez um esforço para fazer o Cálculo puramente algébrico eliminando inteiramente os limites.

Durante todo o século XVIII, pouco interesse em relação aos assuntos sobre a convergência ou a divergência de seqüências infinitas e séries havia aparecido. Em 1812, Carl Friedrich Gauss compôs o primeiro tratamento rigoroso de convergência para seqüências e séries, embora não utilizasse a terminologia dos limites. Em sua famosa teoria analítica do calor, Jean Baptiste Joseph Fourier tentou definir a convergência de uma série infinita sem usar limites, mas mostrando que, respeitadas certas hipóteses, toda função poderia ser escrita como uma soma de suas séries.

No começo do século XVIII, as idéias sobre limites eram certamente desconcertantes.

Já no século XIX, Augustin Louis Cauchy estava procurando uma exposição rigorosamente correta do Cálculo para apresentar a seus estudantes de engenharia na École Polytechnique de Paris. Cauchy começou seu curso com uma definição moderna de limite. Em suas notas de aula, que se tornaram papers clássicos, Cauchy usou o limite como a base para a introdução precisa do conceito de continuidade e de convergência, de derivada, de integral. Entretanto, a Cauchy tinham passado desapercebidos alguns dos detalhes técnicos. Niels Henrik Abel (1802 - 1829) e Peter Gustav Lejeune Dirichlet estavam entre aqueles que procuravam por problemas delicados e não intuitivos.

Entre 1840 e 1850, enquanto era professor da High School, Karl Weierstrass determinou que a primeira etapa para corrigir esses erros deveria começar pela definição de limite de Cauchy em termos aritméticos estritos, usando-se somente valores absolutos e desigualdades.

   

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O conceito de limite constitui um dos fundamentos do Cálculo, uma vez que para definir derivada, continuidade, integral, convergência, divergência, utilizamos esse conceito. A sistematização lógica do Cálculo pressupõe então o conceito de limite.

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Pensamentos
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Uma mãe sempre deve pensar em dobro:
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Fotos: João Lucas







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